a=

b=

c=

d=

e=

f=

g=

h=

δ

ξ

δ'

Jsou\ dány\ roviny\ \delta\ a \ \xi\ a\ bod\ S.
\Sestrojte\ čtverec\ ABCD\ tak,\ aby\ strana\ AB\inδ\ a \ CD\inξ\ a\ S_{ABCD}=S

Krok 1

Rovinu\ δ\ zobrazíme\ ve \ středové \ souměrnosti \ S.\
s(S):δ \rightarrowδ_{2} 
\
Výslednou\ rovinu\ označíme\ δ_2.

Krok 2

Průnikem\ roviny \ δ_2\ a \ zadané\ roviny\ ξ\ je \ přímka\ x\
δ_2∩ξ=x\
Na\ této\ přímce\ budou\ ležet\ body\ A\ a \ B.

Má-li \ být\ bod\ S\ středem\ hledaného \ čtverce\ a body\ A,B\ mají\ ležet\ na\ přímkce\ x,\ potom\ musí\ platit,\ že\ |Sx|=\frac{a}{2},\ a=strana\ čtverce.\
Sestrojíme\ tedy\ rovinu\ ∂,\ pro\ kterou\ platí:\ ∂⊥x\ ∧S\in∂.\
∂∩x=P\ a \ |PS|=\frac{a}{2}

Krok 3

Pokud \ je\ S\ středem\ hledaného\ čtverce\ a\ známe \ vzdálenost\ |PS|,\
\ pak\ musí\ platit,\ že\ |SA|=|SB|=|PS|\cdot\sqrt{2} .\
Sestrojíme\ tedy\ kouli\ K(S,|PS|\cdot\sqrt{2}).\Tato\ koule\ protne\ přímku\ x \ v \ hledaných \ bodech\ A\ a\ B.

Krok 4

Body\ C\ a\ D\ získáme,\ jako\ obrazy\ bodů\ A\ a \ B\ ve\ středové\ souměrnosti\ podle \ bodu\ S.
s(S):A\rightarrow C, \ s(S):B\rightarrow D.

Krok 5

Hledaný\ čtverec\ ABCD.

Krok 6

A

B

C

D

Řešení

Postup

Čtverec\ nelze\ sestrojit,\ protože\ bod\ S\in\delta\ ∨S\inξ.

Pokud\ bod\ S\ neleží\ mezi\ rovinami\ \delta\ a\ \xi\ pak\ řešení\ neexistuje.\Stejně\ tak\ neexistuje\ v\ případě,\ že\ S\in\delta ∨S\in\xi.\
Poslední\ možností\ neexistence\ řešení\ je\ \delta∥\xi\ ∧|S\delta|\neq|S\xi|\
Poznámka:\ pokud\ \delta∥\xi∧|S\delta|=|S\xi|\ pak\ \exists \ \infty\ mnoho\ řešení.

Diskuse

Roviny\ \delta\ a\ \xi\ jsou\ rovnoběžné-\ může \ nastat\ problém\ v\ řešitelnosti:\ otevřete\ prosím\ diskusi.

a = 1 (slider from -100 to 100, step 1)
b = 2 (slider from -100 to 100, step 1)
c = 1 (slider from -100 to 100, step 1)
d = 4 (slider from -100 to 100, step 1)
e = 2 (slider from -100 to 100, step 1)
f = 1 (slider from -100 to 100, step 1)
g = 1 (slider from -100 to 100, step 1)
h = 7 (slider from -100 to 100, step 1)
pole1 = Textfield(a)
pole2 = Textfield(b)
pole3 = Textfield(c)
pole4 = Textfield(d)
pole5 = Textfield(e)
pole6 = Textfield(f)
pole7 = Textfield(g)
pole8 = Textfield(h)
i: (a * x) + (b * y) + (c * z) = d
j: (e * x) + (f * y) + (g * z) = h
S = (0.792720664507442, 4.175640686675887, 8.253192477165186)
i' = Mirror(i, S)
k = IntersectPath(j, i')
text2: "δ':" + i' + ""
l = OrthogonalPlane(S, k)
P = Intersect(k, l)
m = Segment(S, P)
n = Sphere(S, (m * sqrt(2)))
A, B = Intersect(k, n)
C = Mirror(A, S)
D = Mirror(B, S)
mnohoúhelník1, d', c', d_1, c_1 = Polygon(D, C, B, A)
o = false
text3: "δ_2∩ξ=" + (LaTeX[k]) + ""
text1: "δ:" + (LaTeX[a]) + "x+" + (LaTeX[b]) + "y+" + (LaTeX[c]) + "z=" + (LaTeX[d]) + "\\
ξ:" + (LaTeX[e]) + "x+" + (LaTeX[f]) + "y+" + (LaTeX[g]) + "z=" + (LaTeX[h]) + ""
p = false
α = Angle(k, l)
q = false
r = false
s = false
t = false
A_2: (x(A), y(A), z(A))
B_2: (x(B), y(B), z(B))
C_2: (x(C), y(C), z(C))
D_2: (x(D), y(D), z(D))
mnohoúhelník2, g_1, f_1, e_1, h_1 = Polygon(C_2, B_2, A_2, D_2)
u = true
v = false
i_1 = OrthogonalLine(S, j)
j_1 = OrthogonalLine(S, i)
E = Intersect(j_1, i)
F = Intersect(i_1, j)
k_1 = Segment(S, F)
l_1 = Segment(S, E)
w = false
G = PointIn(i)
m_1 = OrthogonalLine(G, i)
H = Intersect(m_1, j)
n_1 = Segment(G, H)
p_1 = OrthogonalLine(S, j)
I = Intersect(p_1, j)
J = Intersect(p_1, j)
q_1 = Segment(S, J)
r_1 = OrthogonalLine(S, i)
K = Intersect(r_1, i)
s_1 = Segment(K, S)